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Fibonacci e a Divina Proporção

As nove figuras indianas: especiarias numerológicas orientais

Liber Abaci, ou Livro dos Cálculos, é o livro histórico de aritmética escrito por Leonardo Pisano, matématico mais conhecido como Fibonacci – ou filho de Bonacci – apelido que remete a seu pai Guglielmo Bonaccio.

 Este trabalho, divulgado em 1202 na Europa, foi um dos primeiros a introduzir o sistema numeral Hindu-Arábico no Ocidente que, até dois séculos antes, utilizava o sistema de algarismos romanos.

Fibonacci, que viveu entre 1175 e 1240 de nossa Era, introduziu esse conhecimento matemático para tornar esses algarismos orientais mais comuns na Itália, provavelmente devido ao intenso comércio entre diversos países ao longo do Mar Mediterrâneo – que já haviam incorporados esse sistema númerico no passado.

O matemático Italiano relata no Liber Abaci que chegou a estudar as “nove figuras indianas”, que correspondem à sequência de números muito conhecidas atualmente em todo o mundo:

9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

Além do algarismo e palavra árabe latinizada zephirum, que posteriormente se tornou zefiro na Itália, metamorfoseou-se pelo dialeto Veneziano tornando-se o zero como o qual conhecemos atualmente nos idiomas português e inglês.

No oriente, os sábios indianos já haviam estudado e discutido a “sequência Fibonacci”. Há milênios a cultura Hindu se interessa por padrões naturais, e isso reflete em sua arte, arquitetura, cosmologia, intonação fonética, e rítimos musicais – tidos como excêntricos no ocidente devido à sua métrica complexa. Matemáticos indianos tais como Gospala e Hemachandra já haviam mencionado essa sequência que é mais conhecida pela sua representação de padrões de crescimentos biológicos.

Provavelmente, Leonardo Pisano incluiu meramente a “questão dos coelhos” nos seus conhecimentos matemáticos, bem como a sequência que prosperou com o seu nome.

Entrando na toca dos coelhos: a concepção da sequência Fibonacci

A sequência clássica de Fibonacci surgiu no Ocidente a partir da divulgação de um estudo realizado sobre o crescimento de uma população fictícia de coelhos. A partir dos números da reprodução desses animais, o matemático Italiano descreveu a quantidade de casais que existiriam após vários meses, começando pela união de apenas um casal.

Para o estudo foi considerando que: no primeiro mês nasceria apenas um casal; esse casal, e os demais, só amadureceriam sexualmente e se reproduziriam após o segundo mês de vida; não haveriam problemas genéticos no cruzamento cosanguíneo; todos os meses os casais férteis dariam luz a um novo casal; e os coelhos nunca morreriam o que prolonga a sequência de nascimento ao infinito.

Sendo assim, foi concebida a sequência clássica conhecida como ‘sequência Fibonacci’:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Nota-se que a razão da progressão dos números equivalem a soma de dois números anteriores. Esses números são interessantes e curiosos pois são a essência da natureza terrestre e universal, da arte, da arquitetura e da música – representadas matematicamente.

Os ecos da Divina Proporção: os números e as criações

A partir da sequência de Fibonacci – através da divisão de um número da sequência pelo anterior – eflui o número equivalente à ‘proporção áurea’:

1.618033988749…

Desde a civilização grega e egípcia, a razão de 1 para 1.618 foi considerada como uma estética extremamente harmoniosa, bonita e agradável.

Não é por acaso que, assim como a Sequência Fibonacci, a proporção áurea se faz presente em diversos fatores primordiais do design na natureza. Ambos estão intrinsicamente relacionados com padrões de crescimento biológico, e também com as razões que configuram fenômenos terrestres e extra-terrestres. Devido a esses fatos, essa relação matemática também é chamada de ‘Divina Proporção’.

Foi a partir dessa proporção que  o artista grego Phideos criou o Parthenon, no século V a.C. – monumento à Deusa Atena  – na acrópole de Atenas. Por causa dessa construção, o número áureo é simbolizado pela letra grega Φ (Phi), em homenagem ao criador desse antigo templo grego.

Natureza metrificada: fractais de emoções

Na terra, diversas plantas, flores e frutos crescem e se configuram de acordo com a Divina Proporção. Seja na espiral formada pelas folhas de uma bromélia, no crescimento de galhos ou mesmo raízes – ela sempre está presente. Mas onde os números da sequência Fibonacci estão mais explícitos é na planta Achillea ptarmica, na disposição do crescimento de seus galhos e na quantidade de suas flores.

A disposição espiralada dos flósculos de um girassol, das bagas dos abacaxis, e das bagas da pinha-fruta-do-conde também exalam tal proporção. Os couves-flores e os brócolis romanescos também são excelentes exemplos de fractais encontrados na natureza.

No entanto, os números áureos não se limitam apenas ao reino vegetal. Os caracóis que pela terra rastejam, os pavões e os exuberantes padrões de sua cauda, os desenhos nas asas das borboletas, e as teias das aranhas – em todos eles emergem a proporção áurea.

No corpo humano essa proporção também presentifica-se gerando uma estética harmoniosa, seja tanto no rosto, nos dentes, ou no corpo como um todo. Alguns exemplos da proporção áurea são encontradas realizando os seguintes cálculos: a distância que vai da sola dos pés ao alto da cabeça, dividida pelo resultado da distância do umbigo ao chão, resultam no número áureo. O mesmo ocorre com o resultado da distância do ombro à ponta dos dedos, dividido entre a distância do cotovelo à ponta dos dedos.

Na água, desde as correntes que se movem no oceano às ondas que quebram na praia, ambas se curvam em uma espiral representada pela sequência Fibonacci, ou Divina proporção. O mesmo padrão é encontrado nas bolachas-do-mar, estrelas-do-mar, na cauda do cavalo-marinho, e mais explicitamente na concha náutilus.

No ar, os furacões, ciclones e tufões rodopiam e também espiralam em proporções divinas.

No universo, as espirais das galáxias inclusive a nossa própria galáxia – a Via-Láctea – configuram padrões matemáticos representados através da sequência propagada por Fibonacci.

Na arte, diversos artistas que existiram em diferentes tempos e lugares, utilizaram essas configurações para pintarem e esculpirem suas obras de arte. Ao exemplo de Leonardo Da Vinci (Santa Ceia, Mona Lisa, Homem Virtruviano), Salvador Dalí (A Persistência da Memória, O Sacramento da Última Ceia), Sandro Botticelli (O Nascimento de Vênus, Primavera), Michelangelo (Daví, Sagrada Família), Rembrandt (Aula de Anatomia do Dr. Tulp) e  Raffaello Sanzio (Crucificação, Maddalena Doni).

Na arquitetura, a divina proporção também encontra-se cinzelada em todos os continentes. As Pirâmides do Egito, o Taj Mahal na Índia, o Parthenon na Grécia, a Catedral de Notre Dame na França, e mais explicitamente nas pirâmides concebidas pelo povo Maya, por exemplo o Templo das Inscrições – que serve de tumba para Pacal Votan – em Palenque no México. Todas essas construções são exemplos da aplicação da métrica inspirada nas proporções de criação da natureza.

Na música, a sequência Fibonacci também é essencial. Existem 13 notas no vão entre as oitavas de qualquer nota. No teclado do piano, as teclas que seguem de Dó à Dó correspondentes ao início e fim de uma oitava e totalizam 13 notas, sendo que 8 são teclas brancas, e 5 são pretas divididas em grupos de 2 e 3. Uma escala é composta por 8 notas, na qual a 5ª e a 3ª criam as fundações básicas de todos os acordes.

 

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